線性代數(經管類)

　　考試-知識點押題資料

　　(★機密)

　　第一部分

　　(一)行列式的定義

　　行列式是指一個由若干個數排列成同樣的行數與列數后所得到的一個式子，它實質上表示把這些數按一定的規則進行運算，其結果為一個確定的數.

　　1.二階行列式

　　2.三階行列式

　　稱為一個三階行列式，它如何進行運算呢?教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數余子式的概念.

　　3.余子式及代數余子式

　　對任何一個元素aij我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成

　　一個二階行列式，稱它為元素aij的余子式，記成Mij.

　　再記 Aij =(-1)i+jMij,稱Aij為元素aij的代數余子式

　　例如A11= M11，A21=-M21，A31= M31

　　那么，三階行列式D，定義為

　　我 們 把 它 稱 為 D，按 第 一 列 的 展 開 式 ，經 常 簡 寫 成

　　(二)行列式的性質

 

　　性質1 行列式和它的轉置行列式相等，即 D= D7

　　性質2 用數 k乘行列式 D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數.

　　性質 3 互換行列式的任意兩行(列)，行列式的值改變符號.推論 1 如果行列式中有某兩行(列)相同，則此行列式的值

　　等于零.

　　推論2 如果行列式中某兩行(列)的對應元素成比例，則此行列式的值等于零.

　　性質 4 行列式可以按行(列)拆開.

　　性質 5 把行列式 D 的某一行(列)的所有元素都乘以同一個數以后加到另一行(列)的對應元素上去，所得的行列式仍為 D定理1(行列式展開定理)

　　(三)行列式的計算

　　行列式的計算主要采用以下兩種基本方法;

　　(1)利用行列式性質，把原行列式化為上三角(或下三角)行列式再求值，此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上(一1)，在按行或按列提取公因子 k 時，必須在新的行列式前面乘上 k.

　　(2)把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數降低，再求出它的值，通常是利用性質在某一行或某一列中產生很多個"0"元素，再按這一行或這一列展開∶

　　解∶觀察到第二列第四行的元素為 0，而且第二列第一行的元素是a，=1，利用這個元素可以把這一列其它兩個非零元素化為0，然后按第二列展開.

　　解∶方法1 這個行列式的元素含有文字，在計算它的值時，切忌用文字作字母，因為文字可能取 0 值.要注意觀察其特點，這個行列式的特點是它的每一行元素之和均為α+3b(我們把它稱為行和相同行列式)，我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子a+3b，再將后三行都減去第一行;

　　方法2 觀察到這個行列式每一行元素中有多個b，我們采用"加邊法"來計算，即是構造一個與D，有相同值的五階行列式∶

　　這樣得到一個"箭形"行列式，如果q=b，則原行列式的值為零，故不妨假設a ≠b，

　　即a-b≠0，把后四列的-倍加到第一列上，可以把第一列的(一1)化為零. a-b

　　稱為一個m 行n列矩陣或m×n矩陣

　　當m=n時，稱A= (aij)mxn為n階矩陣或n 階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用Omxn或 O表示

　　3.矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個數表，而 n 階行列式的最后結果為一個數，因而矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，只有一階方陣是一個數，而且行列式記號""與矩陣記號"(*)"也不同，不能用錯.

　　(二)矩陣的運算

　　1. 矩陣的同型與相等

　　陣.若A與B同型，且對應元素相等，即a。=b，則稱矩陣A與B相等，記為A= B.

　　因而只有當兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，才能說相等.

　　2.矩陣的加、減法

　　故數k與矩陣A 的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數k 與行列式D的乘積，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，這兩種數乘截然不同。

　　矩陣的數乘運算具有普通數的乘法所具有的運算律.

　　4.乘法運算

　　由此定義可知，只有當左矩陣A 的列數與右矩陣 B 的行數相等時，AB才有意義，而且矩陣AB 的行數為A 的行數，AB 的列數為 B的列數，而矩陣AB中的元素是由左矩陣 A中某一行元素與右矩陣 B 中某一列元素對應相乘再相加而得到.

　　故矩陣乘法與普通數的乘法有所不同，一般地∶

　　①不滿足交換律，即AB ≠ BA

　　②在AB = 0時，不能推出A=0或B =0，因而也不滿足消去律。

　　特別，若矩陣 A與B 滿足AB= B4，則稱A 與 B 可交換，此時A與B必為同階方陣.

　　矩陣乘法滿足結合律，分配律及與數乘的結合律.

　　5.方陣的乘冪與多項式方陣

　　稱 f(A)為A的方陣多項式，它也是一個n階方陣

　　6.矩陣的轉置

　　設A為一個m×n矩陣，把A中行與列互換，得到一個n×m矩陣，稱為A的轉置矩陣，記為 AT，轉置運算滿足以下運算律∶

　　由轉置運算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義

　　設A為一個n階方陣，若A滿足AT=A，則稱A為對稱矩陣，若A滿足AT=-A，則稱A為反對稱矩陣.

　　7.方陣的行列式

　　矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，但對于n階方陣，有方陣的行列式的概念.

　　設 A=(a)為一個n階方陣，則由A中元素構成一個n階行列式|aij|n稱為方陣。

　　A的行列式，記為|A|。

　　方陣的行列式具有下列性質∶設A，B為n階方陣，k為數，則

　　(三)方陣的逆矩陣

　　1.可逆矩陣的概念與性質

　　設A為一個n階方陣，若存在另一個n階方陣B，使滿足AB= BA=E，則把 B

　　稱為A的逆矩陣，且說A為一個可逆矩陣，意指A 是一個可以存在逆矩陣的矩陣，把A 的逆矩陣 B記為A-1，從而A與A-1首先必可交換，且乘積為單位方陣 E.

　　逆矩陣具有以下性質∶設A，B為同階可逆矩陣，k ≠0為常數，則

　　①A-1是可逆矩陣，且(A-1)-1=A;

　　②AB是可逆矩陣，且(AB)-1=B-1A-1;

　　③KA是可避矩陣，且(kA)-1=　A-1

　　④A是可逆矩陣，且(AT)-1=(A-1)T

　　⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側消去，即

　　設P為可逆矩陣，則PA=PB ? A=B AP=BP? A=B

　　2.伴隨矩陣

　　設A=(aij)為一個n階方陣，Aij為A的行列式|A|=|aij|n中元素aij的代數余子

　　伴隨矩陣必滿足

　　AA*=A*A=|A|E

　　|A*|=|A|n-1(n為A的階數)

　　3. n 階陣可逆的條件與逆矩陣的求法

　　定理∶n階方陣A可遞? |A|=0，且A-1=

　　A?

　　推論∶設A，B均為n階方陣，且滿足AB=E，則A，B都可逆，且A-1=B，

　　B-1=A

　　(四)分塊矩陣

　　1.分塊矩陣的概念與運算

　　對于行數和列數較高的矩陣，為了表示方便和運算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.

　　在作分塊矩陣的運算時，加、減法，數乘及轉置是完全類似的，特別在乘法時，要注意到應使左矩陣A 的列分塊方式與右矩陣 B 的行分塊方式一致，然后把子塊當作元素來看待，相乘時 A 的各子塊分別左乘 B 的對應的子塊.

　　2.準對角矩陣的逆矩陣

　　(五)矩陣的初等變換與初等方陣

　　1.初等變換

　　對一個矩陣 A 施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行(列)變換，統稱為初等變換，

　　(1)交換A的某兩行(列);

　　(2)用一個非零數k乘A的某一行(列);

　　(3)把A中某一行(列)的 k 倍加到另一行(列)上.

　　注意∶矩陣的初等變換與行列式計算有本質區別，行列式計算是求值過程，用等號連接，而對矩陣施行初等變換是變換過程用" →"連接前后矩陣.

　　初等變換是矩陣理論中一個常用的運算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.

　　2.初等方陣

　　由單位方陣 E 經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.

　　由于初等變換有三種類型，相應的有三種類型的初等方陣，依次記為Pij，Di(k)和Tij(k)，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是同一類的初等方陣.

　　3.初等變換與初等方陣的關系

　　設A為任一個矩陣，當在 A的左邊乘一個初等方陣的乘積相當于對 A作同類型的初等行變換;在 A 的右邊乘一個初等方陣的乘積相當于對A 作同類型的初等列變換.

　　4.矩陣的等價與等價標準形

　　若矩陣 A經過若干次初等變換變為B，則稱 A與 B 等價，記為A≌B

　　5.用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣

　　設A為任一個n階可逆矩陣，構造n×2n矩陣(A，E)然后 (A，E)→(E，A')

　　注意∶這里的初等變換必須是初等行變換.

　　(六)矩陣的秩

　　1. 秩的定義

　　設A為m×n矩陣，把A中非零子式的最高階數稱為A的秩，記為秩(A)或r(4)

　　零矩陣的秩為0，因而0≤秩(A)≤min{m，n}，對n階方陣A，若秩(A)=n，稱 A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.

　　2.秩的求法

　　由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對任一個矩陣A，只要用初等行變換把A 化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數.

　　3.與滿秩矩陣等價的條件

　　n階方陣A 滿秩? A可逆，即存在 B，使AB = B4=E→A非奇異，即A ≠0

　　? A的等價標準形為 E

　　? A可以表示為有限個初等方陣的乘積

　　? 齊次線性方程組AX= 0)只有零解

　　? 對任意非零列向量b，非齊次線性方程組，AX =b有唯一解 A的行(列)向量組線性無關

　　? A的行(列)向量組為Rn的一個基

　　? 任意n維行(列)向量均可以表示為A 的行(列)向量組的線性組合，且表示法唯一.

　　? A的特征值均不為零

　　? AT A為正定矩陣.

　　(七)線性方程組的消元法.

　　可以表示成矩陣形式AX=b，其中A=(aij)m×n為系數矩陣，

　　b=(b1，b2，.…，bm)T為常數列矩陣，X =(x1，x2，.，xn，)T為未知元列矩陣.

　　從而線性方程組 AX =b與增廣矩陣A=(4，b)一一對應.

　　對于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.

　　第三部分

　　(一)n 維向量的定義與向量組的線性組合

　　1.n 維向量的定義與向量的線性運算

　　由n個數組成的一個有序數組稱為一個n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即1×n矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即n×1矩陣

　　與矩陣線性運算類似，有向量的線性運算及運算律.

　　2.向量的線性組合

　　設α1，α2，…，αm是一組n維向量，k1，k2，…，km是一組常數，則稱 k1α1+k2α2+…+kmαm

　　為α1，α2，…，αm的一個線性組合，常數k1，k2，…，km稱為組合系數.

　　若一個向量 β可以表示成 k1α1+k2α2+…+kmαm

　　則稱β是α1，α2，…，αm的線性組合，或稱β可用α1，α2，…，αm線性表出.

　　3.矩陣的行、列向量組

　　設A為一個m×n矩陣，若把A按列分塊，可得一個m維列向量組稱之為A的列向量組.

　　若把A按行分塊，可得一個n維行向量組稱之為A的行向量組.

　　4.線性表示的判斷及表出系數的求法.

　　向量 β 能用α1，α2，…，αm線性表出的充要條件是線性方程組

　　X1α1+x2α2+…+xmam=β有解，且每一個解就是一個組合系數.

　　(二)向量組的線性相關與線性無關

　　1. 線性相關性概念

　　設α1，α2，…，αm是m個n維向量，如果存在m個不全為零的數k1，k2，…，km，使得

　　k1α1+k2α2+…+kmαm=O，則稱向量組α1，α2，…，αm，線性相關，稱k1，k2，…，km為相關系數.否則，稱向量α1，α2，…，αm線性無關.

　　由定義可知，α1，α2，…，αm線性無關就是指向量等式

　　k1α1+k2α2+…+kmαm=O當且僅當k1=k2=…=km=0時成立.

　　特別 單個向量α線性相關? α=0;

　　單個向量α 線性無關? α≠ 0

　　2.求相關系數的方法

　　設α1，α2，…，αm為m個n維列向量，則α1，α2，…，αm線性相關? m元齊次線性方程組x;α+x，α。+…+xα。=0有非零解，且每一個非零解就是一個相關系數? 矩陣 A = (α1，α2，…，αm)的秩小于m

　　例2 設向量組α1=(2，-1，7)T，α2=(1，4，11)T，α3=(3，-6，3)T，試討論其線性相關性.

　　解∶考慮方程組x1α1 +x2α2 +x3α3 = 0

　　3.線性相關性的若干基本定理

　　定理1 n維向量組α1，α2，…，αm線性相關臺 至少有一個向量是其余向量的線性

　　組合.即α1，α2，…，αm線性無關? 任一個向量都不能表示為其余向量的線性組合.

　　定理2 如果向量組α1，α2，…，αm線性無關，又β，α1，α2，…，αm線性相關，則β可以用α1，α2，…，αm線性表出，且表示法是唯一的.

　　定理3 若向量組中有部分組線性相關，則整體組也必相關，或者整體無關，部分必無關.

　　定理 4 無關組的接長向量組必無關.

　　(三)向量組的極大無關組和向量組的秩

　　1.向量組等價的概念

　　若向量組 S可以由向量組R 線性表出，向量組 R也可以由向量組 S 線性表出，則稱這兩個向量組等價.

　　2.向量組的極大無關組

　　設T為一個向量組，若存在T的一個部分組S，它是線性無關的，且T中任一個向量都能由 S 線性表示，則稱部分向量組S為T的一個極大無關組.

　　顯然，線性無關向量組的極大無關組就是其本身.

　　對于線性相關的向量組，一般地，它的極大無關組不是唯一的，但有以下性質∶定理1 向量組T與它的任一個極大無關組等價，因而T的任意兩個極大無關組

　　等價.

　　定理2 向量組T 的任意兩個極大無關組所含向量的個數相同.

　　3.向量組的秩與矩陣的秩的關系

　　把向量組 T的任意一個極大無關組中的所含向量的個數稱為向量組 T的秩.

　　把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A 的列秩.定理∶ 對任一個矩陣 A，A的列秩=A的行秩=秩(A)

　　此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構造一個矩陣 A，然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關組.

　　例3 求出下列向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表出a1=(11-2,7)),a2=(-I,-2,2,-9),a3=(-I,I,-6,6),a4=(2,1,4,3),a5=(2,4,4,3)

　　解∶把所有的行向量都轉置成列向量，構造一個4×5矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣

　　易見B 的秩為 4，A的秩為 4，從而秩{α1，α2，，α3，α4，α5}=4，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應地α1，α2，，α3，α4，α5為向量組的一個極大無關組，而且a4=-α2-a3

　　(四)向量空間

　　1.向量空間及其子空間的定義

　　定義1 n維實列向量全體(或實行向量全體)構成的集合稱為實n維向量空間，記作Rn

　　定義2 設V是n 維向量構成的非空集合，若 V對于向量的線性運算封閉，則稱

　　集合 V是Rn的子空間，也稱為向量空間.

　　2. 向量空間的基與維數

　　設V為一個向量空間，它首先是一個向量組，把該向量組的任意一個極大無關組稱為向量空間V的一個基，把向量組的秩稱為向量空間的維數.

　　顯然，n維向量空間Rn的維數為n，且Rn中任意n個線性無關的向量都是Rn的

　　一個基.

　　3.向量在某個基下的坐標

　　設α1，α2，，…，αr，是向量空間Ⅴ的一個基，則Ⅴ中任一個向量α 都可以用

　　α1，α2，…，αr，唯一地線性表出，由r個表出系數組成的r維列向量稱為向量α在此基下的坐標.

　　第四部分

　　(一) 線性方程組關于解的結論

　　定理1 設 AX =b為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是r(A,b)= r(A)

　　定理2 當n元非齊次線性方程組 AX =b有解時，即r(A，b)=r(A)=r時，那么

　　(1)AX=b有唯一解? r= n;(2)AX= b有無窮多解? r

　　定理3 n元齊次線性方程組AX =0有非零解的充要條件是r(A)=r

　　推論1 設A為n階方陣，則n元齊次線性方程組AX=0有非零解? |A|=0

　　推論2 設A為m×n矩陣，且m

　　(二)齊次線性方程組解的性質與解空間

　　首先對任一個線性方程組，我們把它的任一個解用一個列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解.

　　考慮由齊次線性方程組 AX = 0的解的全體所組成的向量集合

　　

　　顯然V是非空的，因為V中有零向量，即零解，而且容易證明V對向量的加法運算及數乘運算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數仍為解，于是V成為n維列向量空間Rn的一個子空間，我們稱 V為方程組 AX = 0的解空間

　　(三)齊次線性方程組的基礎解系與通解

　　把n元齊次線性方程組 AX =0的解空間的任一個基，稱為該齊次線性方程組的一個基礎解系。

　　當n元齊次線性方程組AX=0有非零解時，即r(A)=r

　　求基礎解系與通解的方法是∶

　　對方程組AX=0先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個基礎解系.

　　(四)非齊次線性方程組

　　1.非齊次線性方程組與它對應的齊次線性方程組(即導出組)的解之間的關系

　　設AX =b為一個n元非齊次線性方程組，AX=0為它的導出組，則它們的解之間有以下性質∶

　　由這兩個性質，可以得到 AX = b的解的結構定理∶

　　定理 設A是m×n矩陣，且r(A，b)=r(A)=r，則方程組AX=b的通解為

　　其中η∗為AX=b的任一個解(稱為特解)，

　　為導出組AX =0的一個基礎解系.

　　2.求非齊次線性方程組的通解的方法

　　對非齊次線性方程組 AX =b，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解.

　　有唯一解?有無窮多解?無解?在有無窮多解時，求出通解.解∶對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，把它化成階梯形矩陣∶

　　令x3=k1，x4=k2，為任意常數，故一般解為向量形式，得方程組通解為

　　√關于e1，e2.…，en:

　　①稱為Rn的標準基，Rn中的自然基，單位坐標向量;

　　②e1，e2.…，en線性無關;

　　③|e1，e2.…，en|=1;

　　④tr(E)=n;

　　⑤任意一個n維向量都可以用e，e，…，e，線性表示.

　　√行列式的計算∶

　　②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.

　　√ 逆矩陣的求法∶

　　√ 方陣的冪的性質∶AmAn= Am+n (Am)n=(A)mn

　　√設f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0，對n階矩陣A規定∶

　　f=(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E為A的一個多項式.

　　√ 設 Am×n，Bm×n，A的列向量為α1，α2，…，αn，B的列向量為β1，β2，…，β5，AB的列向量為r1,r2…,rs

　　√ 用對角矩陣A左乘一個矩陣，相當于用A的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量;

　　用對角矩陣A右乘一個矩陣，相當于用A的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.

　　√ 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘，

　　√ 矩陣方程的解法∶ 設法化成(I)AX=B 或 (II)XA=B

　　當|A|≠0時，

　　(I)的解法∶ 構造(A∶B)—初等行變換(E:X)

　　(當B為一列時，即為克萊姆法則)

　　(II)的解法∶將等式兩邊轉置化為AT XT= BT，

　　用(I)的方法求出XT，再轉置得X

　　√ A=o和Bx=o同解(A，B列向量個數相同)，則∶

　　① 它們的極大無關組相對應，從而秩相等;

　　② 它們對應的部分組有一樣的線性相關性;

　　③它們有相同的內在線性關系.

　　√ 判斷η1，η2，…，n7，是Ax=O的基礎解系的條件∶

　　①η1，η2，…，n7線性無關;

　　②η1，η2，…，n7是Ax=0的解;

　　③ s=n-r(A)=每個解向量中自由變量的個數.

　　① 零向量是任何向量的線性組合，零向量與任何同維實向量正交.

　　② 單個零向量線性相關;單個非零向量線性無關.

　　③ 部分相關，整體必相關;整體無關，部分必無關.

　　④ 原向量組無關，接長向量組無關;接長向量組相關，原向量組相關.

　　⑤ 兩個向量線性相關? 對應元素成比例;兩兩正交的非零向量組線性無關.

　　⑥ 向量組α1，α2，…，αm中任一向量αi(1≤i≤n)都是此向量組的線性組合.

　　⑦ 向量組α1，α2，…，αm線性相關臺向量組中至少有一個向量可由其余n-1個向量線性表示.

　　⑧ m維列向量組α1，α2，…，αm線性相關→r(4)

　　m維列向量組α1，α2，…，αm線性無關臺r(4)=n.⑨r(4)=0臺4=o.

　　⑩ 若α1，α2，…，αm，線性無關，而α1，α2，…，αm，β線性相關，則β可由α1，α2，…，αm線性表示，且表示法惟一

　　11) 矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.

　　階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數.

　　12) 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩，且不改變列向量間的線性關系.

　　矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線性關系.向量組等價

　　α，α，…，α，和A，β，…，B，可以相互線性表示. 記作∶{α，α，…，α，}={B，B，…，B}矩陣等價

　　4經過有限次初等變換化為B. 記作∶ A三 B

　　13矩陣A與B等價? r(A)=r(B)≠>A，B作為向量組等價，即∶ 秩相等的向量組不一定等價.

　　矩陣A與B作為向量組等價臺r(α1，α2，…，αn)=r(β1，β2，…，βn)=r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)? 矩陣A與B等價.

　　14 向量組β1，β2，…，βn可由向量組α1，α2，…，αn線性表示

　　→r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)=r(α1，α2，…，αn)→r(β1，β2，…，βn)≤r(α1，α2，…，αn).

　　15.向量組β1，β2，…，βn可由向量組α1，α2，…，αn線性表示，且s>n，則β1，β2，…，βn線性相關.

　　向量組β1，β2，…，βn線性無關，且可由α1，α2，…，αn線性表示，則s≤n.

　　16.向量組β1，β2，…，βs可由向量組α1，α2，…，αn，線性表示，且r(β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αn)，則兩向量組等價;

　　17.任一向量組和它的極大無關組等價.

　　18.向量組的任意兩個極大無關組等價，且這兩個組所含向量的個數相等.

　　19若兩個線性無關的向量組等價，則它們包含的向量個數相等.

　　20若A是mxn矩陣，則r(A)≤min{m，n}，若r(A)=m，A的行向量線性無關∶

　　若r(A)=n，A的列向量線性無關，即∶

　　α1，α2，…，αn，線性無關.

　　③不同特征值的特征向量必定正交;

　　④ k 重特征值必定有k個線性無關的特征向量;

　　⑤ 必可用正交矩陣相似對角化(一定有n個線性無關的特征向量，A可能有重

　　的特征值，重數=n-r(λE-A)).

　　A可以相似對角化 A與對角陣A相似. 記為∶A～A (稱A是A的相似標準型)

　　√ 若A為可對角化矩陣，則其非零特征值的個數(重數重復計算)=r(A4).

　　√ 設αi，為對應于λi，的線性無關的特征向量，則有∶

　　若A～B，則f(A)~f(B)，|f(A)|=|f(B)|

　　二次型

　　f(x1，x2，…，xn)=XTAX A為對稱矩陣 X=(x1，x2，…，xn)

　　A與B合同 B=C TAC.記作∶ A≌B (A，B為對稱陣，C為可逆陣)

　　√ 兩個矩陣合同的充分必要條件是∶它們有相同的正負慣性指數.

　　√ 兩個矩陣合同的充分條件是∶A~B

　　√ 兩個矩陣合同的必要條件是∶r(A)=r(B)

　　√二次型的標準型不是惟一的，與所作的正交變換有關，但系數不為零的個數是由 r(A)正慣性指數+負物性指數惟一確定的.

　　√ 當標準型中的系數d，為1，-1 或0時，則為規范形

　　√ 實對稱矩陣的正(負)慣性指數等于它的正(負)特征值的個數.

　　√ 用正交變換法化二次型為標準形∶

　　① 求出 A的特征值、特征向量;

　　② 對n個特征向量單位化、正交化;

　　③ 構造C(正交矩陣)， C-1AC=A;

　　特征值.

　　正定二次型 x1，x2，…，xn，不全為零，f(x1，x2，…，xn)>0.

　　正定矩陣 正定二次型對應的矩陣.

　　√ 合同變換不改變二次型的正定性.

　　√ 成為正定矩陣的充要條件(之一成立)∶

　　① 正慣性指數為n;

　　② A的特征值全大于0;

　　④ A合同于E，即存在可逆矩陣Q使QTAQ=E;

　　⑤ 存在可逆矩陣P，使A=P'P(從而4>0);

　　√成為正定矩陣的必要條件∶aij>0 ; |A|>0.

　　第五部分∶ 公式必記

　　1、行列式

　　1. n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式∶

　　2. 代數余子式的性質∶

　　①、Aij和aij的大小無關;

　　②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數余子式為0;

　　③、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數余子式為|A|;

　　3. 代數余子式和余子式的關系∶ Mij=(-I)i+jAij Aij=(-I)i+jMij

　　4. 設n行列式D∶

　　將D上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為D1，則D1=(-1)

　　D;

　　將D順時針或逆時針旋轉90，所得行列式為D1，則D1=(-1)

　　D∶

　　將D主對角線翻轉后(轉置)，所得行列式為D3，，則D3，=D;

　　將D主副角線翻轉后，所得行列式為D4，則D3=D;

　　5. 行列式的重要公式∶

　　①、主對角行列式∶主對角元素的乘積;

　　②、副對角行列式∶ 副對角元素的乘積×(-1)

　　③、上、下三角行列式(|◥|=|◣|)∶主對角元素的乘積;

　　④、|◥|和|◣|∶副對角元素的乘積×(-1)

　　⑥、范德蒙行列式∶ 大指標減小指標的連乘積;

　　⑦、特征值;

　　7.證明|A|=0的方法∶

　　①、|A|=-|A|

　　②、反證法∶

　　③、構造齊次方程組Ax=0，證明其有非零解;

　　④、利用秩，證明r(A)

　　⑤、證明0是其特征值;

　　2、矩陣

　　1. A是n階可逆矩陣∶

　　? |A|≠0(是非奇異矩陣);

　　? r(A)=n(是滿秩矩陣)

　　? A的行(列)向量組線性無關;

　　? 齊次方程組Ax=0有非零解;

　　? ∀b∈Rn，Ax=b總有唯一解;

　　? A與E等價;

　　? A可表示成若干個初等矩陣的乘積;

　　? A的特征值全不為0∶

　　? ATA是正定矩陣;

　　? A的行(列)向量組是 Rn的一組基;

　　? A是 Rn中某兩組基的過渡矩陣∶

　　2. 對于n階矩陣A∶AAn=AnA=|A|E 無條件恒成立;

　　4. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭; 行列式是數值，可求代數和∶

　　5. 關于分塊矩陣的重要結論，其中均A、B可逆∶

　　3、矩陣的初等變換與線性方程組

　　等價類∶ 所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類;標準形為其形狀最簡單的矩陣;對于同型矩陣A、B，若r(A)=r(B)? 4～B;

　　2. 行最簡形矩陣∶

　　①、只能通過初等行變換獲得∶

　　②、每行首個非 0元素必須為1;

　　③、每行首個非 0元素所在列的其他元素必須為 0;

　　3.初等行變換的應用∶ (初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換)

　　①、若(A，E)’～(E，X)，則A可逆，且X=A-1;

　　②、對矩陣(A，B)做初等行變化，當A變為E時，B就變成才A-1B，即∶(A，B)~(E，A-1B);

　　③、求解線形方程組∶對于n個未知數n個方程AX=b，如果(A,b)~(E,x)，則A可逆，且x=A-1b;

　　4. 初等矩陣和對角矩陣的概念∶

　　①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定∶左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣∶

　　5. 矩陣秩的基本性質∶

　　①、0≤r(Am×n)≤min(m,n);

　　②、r(AT)=r(A):

　　③、若A～B，則r(A)=r(B);

　　④、若P、Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)∶(可逆矩陣不影響矩陣的秩)

　　⑤、max(r( A),r(B))≤r(A,B)≤r(A)+r(B);(※)

　　⑥、r(A+B)≤r(A)+r(B);(※)

　　⑦、r(AB)≤min(r(A),r(B)); (※)

　　⑧、如果A是m×n矩陣，B是nxs矩陣，且AB=0，則∶(※)

　　1、B的列向量全部是齊次方程組AX=0解(轉置運算后的結論);

　　Ⅱ、r(A)+r(B)≤n

　　⑨、若A、B均為n階方陣，則r(AB)≥r(A)+r(B)-n;

　　6.三種特殊矩陣的方冪∶

　　①、秩為1的矩陣∶一定可以分解為列矩陣(向量)×行矩陣(向量)的形式，再采用結合律;

　　7.伴隨矩陣：

　　8. 關于 A矩陣秩的描述∶

　　①、r(A)=n，A中有n階子式不為0，n+1階子式全部為0;(兩句話)

　　②、r(A)

　　③、r(A)≥n，A中有n階子式不為 0;

　　9. 線性方程組∶ Ax=b，其中A為mxn矩陣，則∶

　　①、m與方程的個數相同，即方程組Ax=b有m個方程;

　　②、n與方程組得未知數個數相同，方程組Ax=b為n元方程∶

　　10. 線性方程組A=b的求解∶

　　①、對增廣矩陣 B進行初等行變換(只能使用初等行變換);

　　②、齊次解為對應齊次方程組的解;

　　③、特解∶自由變量賦初值后求得;

　　11.由n個未知數m個方程的方程組構成n元線性方程∶

　　④、a1x1，+a2x2+…+anxn=β(線性表出)

　　⑤、有解的充要條件∶ r(A)=r(A，β)≤n(n為未知數的個數或維數)

　　4、向量組的線性相關性

　　1.m個n維列向量所組成的向量組A∶α1，α2，…，αm構成n×m矩陣A=(α1，α2.…，αm);

　　含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應;

　　2. ①、向量組的線性相關、無關? Ax=0有、無非零解;(齊次線性方程組)

　　②、向量的線性表出? Ax=b是否有解:(線性方程組)

　　③、向量組的相互線性表示? AX=B是否有解∶ (矩陣方程)

　　3. 矩陣Am×n與Bi×n，行向量組等價的充分必要條件是∶齊次方程組Ax=0和Bx=0同解;(P101例14)

　　4. r(ATA)=r(A);(P101例15)

　　5. n維向量線性相關的幾何意義∶

　　①、a線性相關? a=0;

　　②、a;β線性相關? a，β坐標成比例或共線(平行);

　　③、α，β,r線性相關? α.，β,r共面;

　　6.線性相關與無關的兩套定理∶

　　若α1，α2，…，αn， 線性相關，則α1，α2，…，αn，αn+1，必線性相關;

　　若α1，α2，…，αn 線性無關，則α1，α2，…，αn-1必線性無關;(向量的個數加加減減，二者為對偶)

　　若r 維向量組A的每個向量上添上n-r個分量，構成n維向量組 B∶

　　若A線性無關，則B也線性無關;反之若B線性相關，則A也線性相關;(向量組的維數加加減減)簡言之∶無關組延長后仍無關，反之，不確定;

　　7. 向量組A(個數為r)能由向量組B(個數為s)線性表示，且A線性無關，則r≤s(二版P74，定理7);

　　向量組A能由向量組 B線性表示，則r(A)≤r(B); (P86定理3)

　　向量組A能由向量組 B線性表示

　　? AX=B有解;

　　? r(A)=r(A，B)(P85，定理2)

　　向量組 A能由向量組 B 等價? r(A)=r(B)=r(A，B)(P85定理2推論)

　　8. 方陣 A可逆? 存在有限個初等矩陣P1，P2.…，Pi，使A=P1P2…Pi;

　　①、矩陣行等價∶ A~B? PA=B(左乘，P可逆)?Ax=0與Bx=0同解

　　②、矩陣列等價∶ A～B? A0= B(右乘，Q可逆);

　　③、矩陣等價∶ A～B? PAQ=B(P、Q可逆);

　　9.對于矩陣Am×n與Bi×n∶

　　①、若A與B行等價，則A與B的行秩相等;

　　②、若A與B行等價，則Ax=0與Bx=0同解，且A與B的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性;

　　③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩;

　　④、矩陣 A的行秩等于列秩;

　　10.若Am×n，Bi×n，=Cm×M，則∶

　　①、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數矩陣;

　　②、C的行向量組能由 B的行向量組線性表示，A"為系數矩陣; (轉置)

　　11，齊次方程組 Bx=0的解一定是ABx=0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明;

　　①、ABx =0 只有零解? Bx =0只有零解;

　　②、Bx=0 有非零解? ABx=0一定存在非零解∶

　　12.設向量組B，∶b，b.，…，b可由向量組4.，。a，a，…，a，線性表示為∶(P110題19 結論)

　　(b1,b2,br)=(a1,a2,…,as)K(B= AK)

　　其中K為s×r，且A線性無關，則B組線性無關→r(K)=r;(B與K的列向量組具有相同線性相關性)

　　(必要性∶∶r=r(B)=r(AK)≤r(K)，r(K)≤r，.r(K)=r;充分性∶ 反證法)

　　注∶當r=s時，K為方陣，可當作定理使用;

　　13.①、對矩陣Am×n，存在Qm×n，AQ=Em。? r(4)=m、Q的列向量線性無關;(P87)

　　②、對矩陣Am×n，存在Pm×n，PA=En ? r(4)=n、P的行向量線性無關;

　　14. a1，a2…，ak，線性相關

　　? 存在一組不全為0的數k1，k2，.…，ks，，使得k1a1+k2a2+…+ksαs=0成立; (定義)

　　? r(a1，α2，…，ar)

　　15.設m×n的矩陣A的秩為r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩為∶ r(S)=n-r;

　　16.若η∗為Ax=b的一個解，

　　為Ax=0的一個基礎解系，則η∗，

　　，線性無關;(P111題33 結論)

　　5、相似矩陣和二次型

　　1. 正交矩陣臺ATA=E或A-1=AT(定義)，性質∶ 1 i=j

　　(i,j=1,2，...n);

　　①、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aTiaj= 0 i=j

　　②、若A為正交矩陣，則才A-1=AT也為正交陣，|A|=±1;

　　③、若A、B正交陣，則 AB也是正交陣;

　　注意∶求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化∶

　　2. 施密特正交化∶(a1，a2，…，ar)

　　3. 對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關;

　　對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交;

　　4. ①、A與B等價? A經過初等變換得到B∶

　　? PA0=B，P、Q可逆;

　　? r(A)=r(B)，A、B同型∶

　　②、4與B合同 ? CTAC=B，其中可逆;

　　? xTAx與xTBx有相同的正、負慣性指數;

　　③、A與B相似? P-1AP=B;

　　5. 相似一定合同、合同未必相似;

　　若C為正交矩陣，則CTAC=B→ A~B，(合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格);

　　6. A為對稱陣，則 A為二次型矩陣;

　　7. n元二次型xrAx為正定∶

　　? A的正慣性指數為n;

　　? A與E合同，即存在可逆矩陣C，使CTAC=E;

　　? A的所有特征值均為正數;

　　? A的各階順序主子式均大于0;

　　? aij>0，|A|>0;(必要條件)